Estudio del crecimiento de una función: Definiciones (3).
1º de Bachillerato HH y CCSS. Análisis.
 

Intervalos de monotonía. Funciones monótonas.

Recordemos las gráficas del principio.

SALAMANCA

SORIA

VALLADOLID

ESPAÑA

La siguiente cuestión que se planteaba era determinar los periodos en los que la población aumentaba y los periodos en los que la población disminuía.

En el caso de Salamanca habrás comprobado que la población creció en los intervalos (1900,1910) U (1920,1950) U (1986,1991) y decreció en (1910,1920) U (1950,1986).

En Soria el crecimiento se produjo en los periodos (1900,1910) U (1920,1950) y el decrecimiento en (1910,1920) U (1920,1991).

Por su parte, en Valladolid la población creció en (1900,1910) U (1920,1991) y sólo decreció en (1910,1920).

Por último en el total de España la población siempre ha crecido en el periodo analizado.

Estos intervalos reciben el nombre de intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento. Más concretamente:

Se llaman intervalos de crecimiento (respectivamente, decrecimiento) de una función f, al conjunto de puntos del dominio de dicha función en los que ésta es creciente (respectivamente, decreciente). Ambos tipos de intervalo reciben el nombre global de intervalos de monotonía de la función.

También se pedía averiguar en qué periodos el crecimiento o el decrecimiento ha sido más rápido. La manipulación misma de las gráficas anteriores te habrá permitido averiguar que el crecimiento es más rápido cuanto mayor es la inclinación de la gráfica, es decir, cuanto más cerca está de la verticalidad; y será más lento cuanto menor sea la inclinación, en otras palabras, cuanto más cerca esté de la horizontalidad.

Así pues, en Salamanca el crecimiento más rápido fue en el periodo (1930,1940) y el más lento en el periodo (1986,1991).

Por último, se planteaba la cuestión de si puede afirmarse de manera global que estas funciones son crecientes o decrecientes.

Esta pregunta admite varias interpretaciones:

  • La primera interpretación sería comparar los valores inicial y final de cada una de estas funciones. De acuerdo con esta interpretación, las poblaciones de Salamanca, Valladolid y España podrían considerarse crecientes, mientras que la de Soria podría considerarse decreciente. Sin embargo, esta interpretación es demasiado simple pues no tiene en cuenta las fluctuaciones que se han producido entre esos dos valores.

  • Una segunda interpretación sería comprobar si a medida que desplazamos a la derecha el punto indicador, la función toma constantemente valores más grandes (o en su caso más pequeños). Según esta interpretación la única población que puede considerarse creciente es la de toda España, pues constantemente ha ido aumentando. En los casos de las tres provincias analizadas ha habido intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento. Aunque en una de ellas (en Valladolid) el intervalo de decrecimiento ha sido muy pequeño. Esta interpretación es perfectamente válida en la mayoría de los casos, y en concreto en estos. Sin embargo, más adelante veremos algunos ejemplos especiales (funciones discontinuas) en los que ésta no es la interpretación más adecuada a la pregunta que se ha hecho. Por ello vamos a ver una tercera interpretación.

  • Una tercera interpretación sería: Diremos que una función es creciente (globalmente) si lo es en todos los puntos de su dominio. En otras palabras, si no tiene intervalos de decrecimiento. Del mismo modo, diremos que una función es decreciente si lo es en todos los puntos de su dominio. En otras palabras, si no tiene intervalos de crecimiento. Como puedes comprobar, el resultado de aplicar esta interpretación produce los mismos resultados que la segunda interpretación, sin embargo, veremos que esto no es siempre así, lo que hace que sea ésta la interpretación más adecuada.

Las funciones que son siempre crecientes, o siempre decrecientes reciben el nombre de funciones monótonas. En los casos anteriores, la única función monótona es la de la población de toda España.


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  José Luis Alonso Borrego
 
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